È chiaro che quanto mi accingo a esporre è valido, in generale, per qualunque pianeta visto da un qualunque punto di osservazione del Sistema Solare; al limite le uniche complicazioni intervengono nel caso di Saturno, a causa della presenza degli anelli, e dei pianeti interni — salvo quando sono in congiunzione superiore — a causa dell'effetto di fase e della radenza della luce incidente di cui bisogna tenere conto. Tuttavia, sia per ragioni di spazio, sia per rifarmi all'articolo apparso su questa rivista, mi limiterò al sistema Terra-Luna visti da Mercurio e fornendo, in calce alla pagina, una piccola tabella con le magnitudini calcolate per gli altri pianeti visti dalla Terra.
Premetto che, onde semplificare ulteriormente le mie considerazioni, arrotonderò alcuni parametri fondamentali. Ad esempio, porrò la distanza Terra-Sole (1 unità astronomica) pari a 150 milioni di km; similmente considererò di 58 milioni di km la distanza media di Mercurio dal Sole, quella afelica di 70 milioni e quella perielica di 46. È vero che a causa di una leggera eccentricità dell'orbita terrestre (167 decimillesimi) anche la distanza Terra-Sole oscilla fra 147 e 152 milioni di chilometri, ma questa discrepanza porterebbe a una variazione di neppure un decimo di magnitudo, per cui il nostro ragionamento rimarrebbe virtualmente intatto. Inoltre, salvo un caso, non considerò il Pi Greco (π) nei conti, in quanto avremo sempre a che fare con dei rapporti, per cui tale costante viene elisa. Da ultimo userò la virgola per separare i decimali per evitare confusioni coi grandi numeri che spesso, per comodità di lettura, richiedono i punti nelle separazioni delle migliaia.
Partiamo dalla la magnitudo visuale del Sole visto dalla Terra che è di −26,8.
Immaginiamo una gigantesca emisfera di raggio pari a una unità astronomica, al cui centro si trova appunto il Sole, costituita da un ipotetico materiale super riflettente, ossia con albedo del 100%, che ne riveste la superficie interna. Domanda: quale sarà la magnitudo integrata di tale superficie vista dal Sole? Ovviamente sarà sempre −26,8. Infatti, per un osservatore situato a una unità astronomica non farà alcuna differenza che la luce provenga da un punto, da un disco o da tutto il cielo! In altri termini si tratta della stessa luce distribuita diversamente.
Consideriamo adesso le dimensioni della Terra vista dal (centro del) Sole. Tenendo presente che il nostro pianeta ha un diametro medio di 12740 km, esso sottenderà un arco di 17,5", mentre la Luna, con un diametro 3476 km sarà vista sotto un arco poco inferiore a di 4,8"; questi dati si ottengono facendo l'arcotangente di 12740 / 150.000.000 e di 3476 / 150.000.000 rispettivamente.
Immaginiamo d'incastonare una sferetta delle dimensioni della Terra in questa sorta di gigantesco guscio; questa, osservata dal (centro del) Sole, ci mostrerà una superficie di 2π(8,75)2, ossia 481 secondi d'arco quadrati e quindi 3,5·10−5 gradi quadrati. Se a questo punto rapportiamo le due superfici — quella del guscio totale (267.319.440.000 arcosecondi quadrati) a quella della sferetta incastonata (481 arcsec2)troviamo un valore di 555.757.671.
Quale sarà dunque la caduta di magnitudine rispetto alla superficie totale del guscio? Il risultato si ottiene dalla seguente espressione:
2,5 × log 555757671 = ~ 21,9
La sferetta avrà quindi una magnitudo di:−26,8 + 21,9 = −4,9.
Immaginiamo ora di sostituire la nostra sferetta con la Terra. Il nostro pianeta ha un albedo di 0,35 (riflette cioè mediamente il 35% della luce), per cui si avrà un'ulteriore caduta magnitudine dovuta al fatto che l'areola s'indebolisce ancora di 2,86 volte (l'inverso di 0,35):2,5 × log 2,86 = ~ 1,1
Confronto di dimensioni fra Terra, Plutone e Caronte
Sommando dunque 1,1 al valore di −4.9 precedentemente calcolato troviamo circa −3.9 che rappresenta con buona approssimazione la magnitudo media della Terra vista dal (centro del) Sole.
Per ripetere gli stessi calcoli con la Luna basta tenere presente che il nostro Satellite ha un diametro 3,67 volte più piccolo della Terra e che quindi sottende un'area (3,67)2 = 13,47 volte minore. Questo comporta una caduta di magnitudine pari a 2,5 × log 13,47 = ~ 2,8. Tuttavia la Luna è anche molto più scura, con un'albedo media di circa il 7% contro il 35% della Terra. Ciò si traduce in un ulteriore calo di 1,7 magnitudini che sommato al valore precedente fa 4,5. La magnitudo della Luna vista dal Sole è dunque −3,9 + 4,5 = +0,6, ma solo quando, ovviamente, non è in fase e quindi opposta alla Terra.
A questo punto non dobbiamo fare altro che metterci alla giusta distanza di osservazione e cominciamo quindi con la distanza media di Mercurio dal Sole che è di 58 milioni di km. Significa che dalla Terra saremo adesso distanti 150 − 58 = 92 milioni di km. La Terra apparirà dunque più brillante. Ma di quanto? Si dovrà risolvere l'espressione seguente:
2,5 × log (92 / 150)2 = −1,06 (*)
Questo valore va sommato algebricamente con −3,9, il valore della magnitudo della Terra vista dal (centro del) Sole. Il risultato (arrotondato) sarà dunque di −5 per la Terra e di −0,3 per la Luna quando sono in opposizione (su Mercurio tutti i pianeti vanno in opposizione). Se osserviamo il sistema Terra-Luna sempre in opposizione, ma durante l'afelio di Mercurio, in pratica è come se ci avvicinassimo ancora sino a 150 − 70 = 80 milioni di km. In questo non facciamo altro che applicare nuovamente la (*):2,5 × log (80 / 150)2 = −1,37
ripetendo la somma algebrica delle magnitudini e arrotondando troviamo per la Terra −5,4 e per la Luna −0,7.Infine durante l'opposizione perielica i valori divengono rispettivamente −4,8 e −0,1.
Ripetendo gli stessi passaggi con la Terra in congiunzione troviamo valori di magnitudo da −3,4 a −3,2 a seconda che la congiunzione avvenga quando Mercurio è al perielio o all'afelio.
Un'immagine di Plutone ripresa dalla sonda New Horizons (© NASA) Questi semplici conti, per inciso, permettono anche di effettuare alcune stime come, ad esempio, una valutazione realistica del diametro di Plutone, assai sovrastimato sino a una trentina di anni fa. Se infatti assumiamo che il pianeta si trovi attualmente a circa 30 U.A. è evidente che il Sole apparirà attenuato di (1/30)2, ossia di 900 volte. La sua magnitudo pertanto sarà di 2,5 × log 900 = 7,4 volte maggiore di quanto sia visto dalla Terra e cioè di −19,4: sarà cioè 450 volte più brillante della Luna Piena, ma con la luce tutta concentrata in solo punto: a quella distanza, infatti, il Sole sottende un angolo di appena 1'.
Consideriamo daccapo un'ipotetica emisfera centrata sul Sole, ma stavolta di raggio pari a 30 U.A. Plutone ha attualmente una magnitudo visuale attorno alla 14−esima e considerato uno scarto di una unità astronomica c'è una differenza di appena 7 centesimi di magnitudo tra osservarlo dalla Terra o dal Sole; terremo comunque in considerazione anche questa. in realtà Plutone è un sistema doppio, perché accompagnato da Caronte che ha un diametro di circa la metà; quindi, supponendo, ragionevolmente, che abbia grosso modo la stessa composizione chimica di Plutone, rispetto a questo risulta più debole di 1,5 magnitudini, per cui incide soltanto al 25 per cento sulla luminosità totale del sistema. Con questi dati, e tanto per fissare le idee, possiamo allora assumere la magnitudo del solo Plutone pari a 14,0 se visto dalla Terra (dal Sole sarebbe appena di 7 centesimi più debole) e di 13,8 considerando anche il suo satellite che non è visualmente risolvibile.
Un'immagine di Caronte ripresa dalla sonda New Horizons (© NASA) L'ipotetica emisfera con raggio di 30 U.A. (4.5 miliardi di km) ha una superficie di 2×1019 kmq (*). Attenzione adesso. Supponiamo dapprima che il pianeta abbia un'albedo del 100% (ossia riflettività totale come quella della emisfera). Per trovare la sua luminosità effettiva occorre considerare un calo totale di magnitudini che ammonta a 14,07+19.4 = 33,47. Il primo degli addendi è la magnitudo di Plutone visto dal Sole, mentre il secondo è quella del Sole visto da Plutone col segno cambiato. Il calo di luminosità avrà allora come risultato 2,51233,47 = 2,447·1013 (**). Poiché luminosità e superficie sono due grandezze direttamente proporzionali, per trovare quella del pianeta occorre rapportare i due valori (*) e (**), che dà come risultato 817327. A questo punto basta solo fare che porta a un raggio di circa 900 km.
Tuttavia, Plutone ha una albedo medio del 50 per cento (alcune zone hanno infatti una riflettività del 40%, altre del 60%), ragion per cui, per mantenere la stessa magnitudo osservata dal Sole, ossia 14.07, occorre maggiorarne il diametro di arrivando così a poco più di 1272 km per il raggio e quindi 2545 km per il diametro. Come si vede è un risultato che sgarra di circa il 7% rispetto alla reale misura effettuata dalla New Horizon che è di 2376 km, ma dà un ordine di grandezza accettabile.
Un altro sistema forse poco più immediato e intuitivo per giungere a un valore simile — quello che ho adottato per calcolare le magnitudini degli altri pianeti — è di considerare dapprima Plutone delle stesse dimensioni della Terra, nonché posto alla stessa distanza dal Sole (1 U.A.). Se assumiamo, come prima, un'albedo di 0,50, contro quella di 0,35 della Terra, Plutone risulterebbe 0,50 / 0,35 = 1,428 volte più brillante. La differenza in magnitudo si ottiene facendo:
2,5 × log 1,428 = ~ 0,38
Se la Terra vista dal (centro del) Sole appariva di magnitudo −3,9, l'ipotetico ... megaPlutone apparirebbe allora di magnitudo −4,28. A questo punto andiamo a collocare il pianeta alla giusta distanza di 30 U.A. La sua superficie apparente varierà in ragione inversa al quadrato della distanza, ma anche la luce che riflette varierà a sua volta col quadrato della distanza, perché è stato di fatto allontanato dal Sole. A 30 U.A., pertanto, il megaPlutone apparirà 304 volte più debole, ossia avrà perso 810000 volte la sua luminosità. Questo si traduce in una caduta di magnitudo pari a 14,78 (che risulta da 2,5 × log 810000 = 14,78). Visto dal Sole il pianeta brillerà dunque di magnitudo 10,5. Infine non dobbiamo fare altro che ridurne opportunamente le dimensioni sino a farlo apparire di magnitudo 14,07, come abbiamo supposto nel paragrafo precedente.Per fare questo basta ricordarsi che la differenza di magnitudo Δm è legata al rapporto di luminosità RL dalla seguente relazione:
RL = (2,512)Δm
Se dunque Δm è 3,57 (ossia 14,07 − 10,5), RL è uguale a 26,8. Ma se è RL = 26,8, il rapporto dei diametri di Terra e Plutone sarà pari a , vale a dire ~ 5,2. Il diametro effettivo di Plutone risulterà pertanto di 12740 / 5,2 che si traduce in un diametro di 2450 km, con uno scarto stavolta del 3%, minore rispetto a quello trovato col metodo precedente (le discrepanze tra i due metodi potrebbero essere imputabili agli arrotondamenti nei calcoli e alle approssimazioni dei parametri considerati).Tabella delle Magnitudini
(calcolate col metodo spiegato nel testo)