Poniamoci nel caso semplificato delle orbite circolari (Newton, comunque, lo dimostrò anche per quelle ellittiche) e si osservi la figura a lato. Questa mostra un pianeta in orbita attorno a una stella che partendo da P1 dopo un tempo t si trova in P2.
Chiariamo subito che in un moto circolare uniforme l'oggetto orbitante, pur procedendo a velocità costante, è soggetto all'accelerazione centripeta per cui è di fatto costantemente accelerato. Le frecce bianche rappresentano, vettorialmente, le velocità tangenziali del pianeta; si può notare che quando questo è in P2 la freccia ha, ovviamente, sempre la stessa lunghezza (in quanto il moto è uniforme), ma ha cambiato direzione; ciò significa che il pianeta ha effettivamente accelerato, poiché la velocità è comunque variata (ricordiamo che l'accelerazione è definita come una variazione nel tempo della velocità). Chiamiamo allora w la differenza di velocità, simboleggiata dalla freccia arancione.
Per tratti di orbita molto piccoli risulta con ottima approssimazione:
w / v = L / R (1)
dove w è, come abbiamo visto, il differenziale di velocità, v la velocità tangenziale, L la lunghezza dell'arco P1-P2 ed R il raggio dell'orbita.Indicato con C la lunghezza della circonferenza, valgono le seguenti relazioni:
R = C / 2π dalla quale segue immediatamente ⇒ w / v = 2π · L / C (2)
Indicato con t il tempo per percorrere L e con T quello per percorrere l'intera circonferenza C (definito Periodo), trattandosi di moto circolare uniforme risulta:
w / v = 2π · t / T e risistemando i termini: w / t = 2π · v / T (3)
Sappiamo che la velocità di un punto che si muove di moto circolare uniforme è data dal rapporto tra la circonferenza e il periodo, ossia:
v = 2πR / T e quindi dalla (3) risulta la seguente relazione: w / t = 4π2R / T2 (4)
Dalla 3a Legge di Keplero risulta che R3 / T2 = k (una costante). Seguono allora le seguenti relazioni:
T2 = R3 / k da cui ⇒ w / t = 4π2R / R3 · k e semplificando ⇒ w / t = 4π2k / R2 (5)
Ma il rapporto w / t è un'accelerazione (nel nostro caso centripeta), poiché è una velocità su un tempo; indichiamola allora con a.
Posto 4π2k = G (si tratta di costanti), la (5) si può dunque riscrivere nel modo seguente:
a = G / R2 e considerando che è F = m · a (forza = massa × accelerazione) segue infine ⇒ F = G M / R2
Quest'ultima formula esprime la forza esercitata su un pianeta in funzione della distanza dalla stella. Se, come nel caso della Terra rispetto al Sole, la massa del pianeta è trascurabile, l'espressione precedente costituisce una esemplificazione della legge di Gravitazione Universale.