Giovanni Keplero e le sue Leggi
(Nuovo Orione, Settembre 2003)
  Parte prima: la vita e le opere
  Parte seconda: le Leggi

La nostra dissertazione ci conduce adesso alle Tre celebri Leggi di Keplero che ci serviranno per risolvere qualche semplice problema, avvalendoci delle sole quattro operazioni.
La 1ª Legge, affermando che "le orbite planetarie sono ellissi di cui il Sole occupa uno dei fuochi", ci introduce nel concetto di "sezioni coniche", ossia quelle figure geometriche ottenute appunto sezionando un cono con un piano opportunamente inclinato rispetto all'asse o alle generatrici dello stesso. Le due figure a lato mostrano schematicamente quello che stiamo dicendo: nella 1ª vediamo il piano che taglia il cono parallelamente all'asse e generando un'iperbole; nella 2ª lo stesso piano è parallelo alle generatrici del cono e la figura risultante è una parabola; nella 3ª, infine, l'inclinazione del piano ha un valore tale da formare un'ellisse. Sembra un astratto concetto geometrico, ma in realtà è possibile visualizzare quanto stiamo dicendo con un esperimento molto semplice: se poniamo una comune lampada accesa dotata di abat jour nei pressi di una parete, noteremo che la figura luminosa che si staglia su di essa varia a seconda dell'inclinazione della lampada stessa; se viene appoggiata normalmente (caso della figura schematicamente riprodotta a destra) vedremo proiettarsi un'iperbole, ma inclinandola opportunamente la figura varierà, in quanto la parete agisce appunto come un piano che seziona il cono luminoso uscente dall'abat jour. Nell'esempio schematico di destra, la lampada è mantenuta in posizione verticale (ossia come quando è appoggiata su un tavolino) e la corrispondente figura luminosa sulla parete sarà pertanto un'iperbole.
L'ellisse è geometricamente definita come il luogo dei punti per i quali è costante la somma delle distanze tra un qualunque punto P e due punti fissi detti fuochi (vedi). Il rapporto tra la distanza dei fuochi e l'asse maggiore (ovvero tra la distanza centro-fuoco e il semiasse maggiore) è definito eccentricità dell'ellisse (vedi) e il suo valore, com'è facile intuire, può solo assumere un valore compreso tra 0 e 1: più il valore si avvicina all'unità, più l'ellisse diviene molto allungata. Le eccentricità delle orbite planetarie sono tutto sommato modeste, comprese tra 0.007 (Venere) a 0.217 (Plutone); questo significa che se le rappresentiamo in scala differirebbero molto poco da una circonferenza. Il discorso è diverso per certe orbite cometarie che con eccentricità spesso superiori a 0.9 sono effettivamente delle ellissi molto schiacciate.

La 2ª Legge afferma che "il raggio vettore Sole-pianeta spazza aree uguali in tempi uguali". È un modo per dire che tanto più il pianeta è vicino al Sole tanto più velocemente si muove sulla sua orbita (se così non fosse prima o poi ci cadrebbe sopra!). È interessante notare che questa legge ci permette di calcolare in modo molto semplice la velocità di un pianeta (o di un satellite) in un qualunque punto dell'orbita senza ricorrere a complicate formule di matematica differenziale. Si consideri ad esempio Mercurio che possiede un'eccentricità orbitale fra le più elevate, cioè di 0,206 e proponiamoci, per semplificare, di trovare la velocità perielica. Quando il pianeta si trova nel punto B indicato dalla figura di sinistra (da ingrandire), ossia alla estremità dell'asse minore, è situato alla distanza media — che è di 58 milioni di km — e ha quindi una velocità media. Per convincersi di questo basta tracciare le diagonali del rettangolo MM'FC di quest'altra figura, e ci si accorge subito che sono uguali al raggio della circonferenza equivalente: vuol dire che se Mercurio si trovasse a questa distanza su un'orbita perfettamente circolare impiegherebbe lo stesso tempo di 88 giorni a percorrerla completamente (si veda la figura seguente nella quale l'ellisse è stata disegnata volutamente schiacciata per meglio mettere in evidenza il concetto). Consideriamo allora un piccolissimo tratto di orbita MN (vedi) tale da considerarlo come un segmento lungo un paio di km — percorso quindi in un'unità di tempo trascurabile rispetto al periodo di rivoluzione — e calcoliamo l'area del triangolo MNC. Se esprimiamo le lunghezze in km otterremo:

58.000.000 km2

ossia base x altezza : 2. Questa sarà la nostra unità di area.

Dalla figura qui sotto (da ingrandire) siamo in grado di calcolare la distanza perielica che si ottiene sottraendo alla distanza media la distanza centro-fuoco, vale a dire:

Dperielio =   Dmedia – e · Dmedia   =   Dmedia · (1 – e)

dove e è ovviamente l'eccentricità. Questa distanza risulta di 46 milioni di km.
Se adesso moltiplichiamo per 2 l'unità di area e la dividiamo per la distanza perielica troviamo la lunghezza del trattino di orbita M'N' percorso al perielio nella stessa unità di tempo. A conti fatti, se questo trattino era di 2 km alla distanza media, al perielio sarà di circa 2,5 km; questo vuol dire che la velocità è aumentata del 25%, il che non è poco! Si tenga presente che se avessimo effettuato lo stesso conto nel caso della Terra (e = 0 .017) avremmo trovato una differenza di neanche il 2%.
Se però, anziché la semplice variazione, vogliamo determinare la velocità orbitale media del pianeta in km al secondo dobbiamo trovare la lunghezza dell'orbita e dividerla per il numero di secondi compreso in una rivolu- zione. Nel far questo diciamo subito che non occorre impazzire per calcolare il perimetro di un'ellisse (che oltre tutto non si può nemmeno determinare con esattezza in forma chiusa, cioè con una formula). Perché? Perché si può comodamente supporre, come abbiamo già detto, che Mercurio si muova a velocità costante su un'orbita circolare di raggio pari alla distanza media di 58 milioni di km. (si rammenti questa figura). Siccome la lunghezza della circonferenza è data da 2πr, questa sarà di 2π · 58.000.000 km, ossia di 364 milioni di km. In 88 giorni ci sono 7,6 milioni di secondi. Rapportando questi 2 valori otteniamo la velocità media di 48 km/sec. e quella perielica, del 25% superiore, pari a 60 km/sec.
Se ripetiamo il calcolo coi parametri della Terra troveremo invece valori che sia all'afelio, sia al perielio si discostano poco da 30 km/sec.
La 3ª Legge è forse la più importante in quanto regola il comportamento fra più corpi orbitanti e come tale stata pienamente spiegata dopo la pubblicazione della Gravitazione Universale. Tuttavia, mentre quest'ultima è una legge dinamica, quella di Keplero, nella sua stesura originale, era puramente statica, nel senso che prescindeva totalmente dal concetto di massa. Noi, comunque, seguiremo il ragionamento inverso, ossia partiremo da questa 3ª legge e dimostreremo che in essa è implicitamente contenuta la Gravitazione Universale. I conti sono molto semplici, ma poiché sono un po' lunghi rinviamo i lettori all'apposita pagina.

La 3ª legge di Keplero viene usualmente presentata in questo modo:

Tradotto significa che se prendiamo due pianeti (o due satelliti) qualsiasi, il rapporto dei quadrati dei periodi orbitali è uguale al rapporto dei cubi degli assi maggiori delle rispettive orbite. Se esprimiamo P in anni e a in unità astronomiche (UA), dal momento che per la Terra questi 2 valori, per definizione, valgono 1, la formula sopra scritta diviene semplicemente:

P2 = a3    ossia     P = √ a3

Questo ci fornisce un sistema molto semplice per determinare i periodi di rivoluzione dei pianeti conoscendo la loro distanza dal Sole (e viceversa, invertendo opportunamente la formula). Prendiamo, ad esempio, Giove. Il gigante del Sistema Solare è distante 5,2 UA dalla nostra Stella. Il suo periodo orbitale varrà pertanto:

P = √ (5,2)3 = 11,85 anni

Dicevamo che la 3ª legge di Keplero prescinde dalla massa dei corpi orbitanti. Nella realtà questo è valido in prima approssimazione per i pianeti, i quali hanno una massa trascurabile rispetto al Sole (persino la massa di Giove ne è solo la millesima parte!). Le cose sono ben diverse nel caso di 2 stelle di massa simile appartenenti a un sistema doppio, ovvero di un oggetto di massa non trascurabile orbitante attorno al corpo principale, come la Luna nei confronti della Terra. In questo caso dobbiamo obbligatoriamente introdurre le masse nella formula che esprime la legge, la quale diviene:

dove M è la massa dell'ipotetico corpo centrale in masse solari, m1 ed m2 quelle dei 2 corpi orbitanti. Da quest'ultima formula si scopre subito che per valori di m1 ed m2 tendenti a zero ritroviamo subito la (1), com'è logico. Se però vogliamo vedere cosa succede se, alla distanza di 1 UA, anziché il Sole e la Terra ci fossero 2 stelle di una massa solare ciascuna, dobbiamo porre m1 = M e trascurare il contributo di m2. In questo caso la (2) diviene:

che dopo alcuni passaggi algebrici, omessi per brevità, ci conduce alla seguente espressione:

Se poniamo i valori di a situati sotto il radicale al 2º membro uguali a 1 (nel caso che le 2 stelle si trovino a 1 UA) e anche P22 = 1 (ossia un anno, in riferimento al periodo orbitale della Terra) la (3) diviene:

P = 1 / √ 2

ossia 0,7 anni.
In altri termini il periodo orbitale si riduce. Ciò è ancora una volta abbastanza intuitivo in quanto fissata una certa distanza — nella fattispecie 1 UA — ci aspettiamo che i due corpi ruotino uno attorno all'altro più velocemente per evitare che l'attrazione gravitazionale, divenuta più forte, li faccia spiraleggiare e quindi collidere.
Un'applicazione pratica di quanto abbiamo esposto, ossia di masse orbitanti non trascurabili, la troviamo nel caso del sistema Terra-Luna. I visitatori possono divertirsi a calcolarne il periodo confrontando poi il risultato con quello pubblicato nel relativo box

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